Курсовая работа
Тема: «Mathcad: Решение дифференциальных уравнений и их систем»
Задание на курсовую работу
Задача 1. Получить точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0;1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутты, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов с использованием точного решения.
Задача 2. Решить систему дифференциальных уравнений, получить точное решение вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0;1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутты. Представить совместное графическое решение, рассчитать локальную относительную и абсолютную погрешность.
Содержание
Введение
Задача 1
Классический способ
Операторный метод
Решение с помощью рядов
Метод Эйлера
Метод Рунге-Кутты
Совместное графическое решение
Задача 2
Классический способ
Операторный метод
Решение с помощью рядов
Метод Эйлера
Метод Рунге-Кутты
Совместное графическое решение
Заключение
Список использованных источников
Введение
- система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.
Основные возможности:содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.
Среди возможностей MathCad можно выделить:
Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами
Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.)
Использование греческого алфавита, как в уравнениях, так и в тексте
Выполнение вычислений в символьном режиме
Выполнение операций с векторами и матрицами
Символьное решение систем уравнений
Аппроксимация кривых
Выполнение подпрограмм
Поиск корней многочленов и функций
Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей
Поиск собственных чисел и векторов
Вычисления с единицами измерения
Интеграция с САПР системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров
[1]
Задача 1.
Классический метод
Решим характеристическое уравнение:
Общее решение ЛОДУ:
Найдем частное решение:
Общее решение данного ДУ:
Подставим начальные условия и решим задачу Коши:
Частное решение ДУ:
График точного решения вручную:
Операторный метод
Найдем изображения для каждого члена ДУ:
дифференциальное уравнение погрешность
Найдем Х:
График точного решения, полученного операторным методом:
Сравнение решений, полученных классическим и операторным методом
Решение с помощью рядов
Разложим в ряд Маклорена:
Сравним решения, полученные операторным методом и с помощью рядов
Вычислим погрешности
Метод Эйлера
Для сравнения решений построим график
Вычислим погрешности:
Метод Рунге-Кутты
Сравним решение, полученное методом Рунге-Кутты 4 порядка, с точным решением:
Вычислим погрешности
Совместное графическое решение ДУ всеми способами
- погрешность решения с помощью рядов
- погрешность решения с помощью метода Рунге-Кутты 4 порядка
погрешность решения с помощью метода Эйлера
Задача 2
Классический способ
Найдем у
Операторный метод
Найдем изображения
Найдем Х и Y
Найдем x(t) и y(t):
Сравним с решением, полученным классическим способом
Решение с помощью рядов
Перейдем от системы ДУ 1 порядка к двум ДУ 2 порядка:
Разложим в ряд Маклорена:
Для сравнения, построим графики решения операторным методом и с помощью рядов
Вычислим погрешности
Метод Эйлера
Построим графики решений операторным методом и методом Эйлера
Вычислим погрешности
Метод Рунге-Кутты
Построим графики решений операторным методом и методом Рунге-Кутты
Вычислим погрешности
Совместное графическое решение
- погрешности решения с помощью метода Эйлера
- погрешности решения с помощью метода Рунге-Кутты 4 порядка
- погрешности решения с помощью рядов
Заключение
Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, могут быть записаны в виде дифференциальных уравнений. Эти уравнения описывают изменение соответствующих физических величин с течением времени и могут служить в качестве математической модели соответствующего процесса.
Дифференциальные уравнения играют важную роль в прикладной математике, физике и в других науках, таких как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений окружающего мира.
Теория численного решения дифференциальных уравнений хорошо разработана и на ее основе создано множество прикладных программ, позволяющих пользователю получить решение и вывести его в графическом виде. Среди этих программ следует в первую очередь отметить такие математические пакеты, как MATLAB, MATHEMATICA, MAPLE и MATHCAD. [3]
В представленной работе были использованы различные методы решения дифференциальных уравнений и их систем:
Классический метод
Операторный метод
Решение ДУ с помощью рядов
Метод Эйлера
Метод Рунге-Кутты 4 порядка
Продемонстрированы возможности пакета MathCad, показаны расхождения решений разными методами.
В ходе проведения работы было выявлено, что наиболее точные решения получаются при использовании метода Рунге-Кутты 4 порядка и метода Эйлера. Наивысшей точностью обладает метод Рунге-Кутты 4 порядка точности.
Список использованных источников
Казанцева Н. В. Численное решение задач высшей математики с использованием программных пакетов MathCad и MATLAB : метод. указания - Екатеринбург, УрГУПС, 2009 - 56 с.
Шампайн Л. Ф., Гладвел И., Томпсон С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием MATLAB: Учебное пособие / Пер. с англ. И. А. Макарова. - СПб.: Издательство «Лань», 2011. - 304с: ил. - (Учебники для вузов. Специальная литература).